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東西問(wèn)·人物|張益唐:證明“零點(diǎn)不存在”的宇宙

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東西問(wèn)·人物|張益唐:證明“零點(diǎn)不存在”的宇宙

2022年11月19日 18:05 來(lái)源:中國新聞網(wǎng)
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  中新社北京11月19日電 題:張益唐:證明“零點(diǎn)不存在”的宇宙

  《中國新聞周刊》記者 霍思伊

  對數論學(xué)家而言,存在兩個(gè)宇宙。第一個(gè)宇宙中,存在朗道-西格爾零點(diǎn);第二個(gè)宇宙中,不存在?!拔覀兊睦Щ笫牵含F在到底生活在哪個(gè)宇宙里?”

  這種類(lèi)似平行宇宙的設定,讓人印象深刻。這段話(huà)出自美籍華裔數學(xué)家、美國加州大學(xué)圣塔芭芭拉分校數學(xué)系教授張益唐。幾百年來(lái),數學(xué)家們一直在試圖回答這個(gè)問(wèn)題,現在,張益唐似乎給出了初步答案。

  11月4日上午,張益唐向預印本平臺arXiv提交了一份長(cháng)達111頁(yè)的論文《離散平均數估計和朗道-西格爾零點(diǎn)》,論文尚未接受同行評審。論文部分證明了朗道-西格爾零點(diǎn)不存在。專(zhuān)家指出,這一成果可能比之前讓張益唐“一戰成名”的孿生素數猜想還要重大。如果張益唐的研究經(jīng)證明是正確的,將推動(dòng)多個(gè)數學(xué)領(lǐng)域全方位的進(jìn)步。

  11月8日上午,張益唐在北京大學(xué)作線(xiàn)上學(xué)術(shù)報告時(shí)說(shuō):“這一次解決朗道-西格爾零點(diǎn),確實(shí)是在大海里撈針?!睋榻B,在解決其中關(guān)鍵步驟時(shí),曾嘗試了各種辦法和工具,但最后一步就是跨不過(guò)去,后來(lái)想到了一個(gè)新的想法:通過(guò)引進(jìn)四個(gè)序列,最終推出了矛盾?!澳茏龅竭@一步,我是幸運的,只有把一些事情做到極致,才能找到這樣的關(guān)系式出來(lái)?!?/p>

2018年5月3日,國際著(zhù)名數學(xué)家張益唐教授參加了北大77、78級入學(xué)40周年紀念大會(huì )并以《數學(xué):我一生的追求》為題作主旨發(fā)言。郭海鵬 攝
2018年5月3日,國際著(zhù)名數學(xué)家張益唐教授參加了北大77、78級入學(xué)40周年紀念大會(huì )并以《數學(xué):我一生的追求》為題作主旨發(fā)言。郭海鵬 攝

  “夢(mèng)寐以求去證明零點(diǎn)不存在”

  11月5日上午,山東大學(xué)舉辦了一場(chǎng)關(guān)于張益唐朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的研討會(huì )。會(huì )上,張益唐夫人孫雅玲感慨:“他鉆研數學(xué)鉆得有點(diǎn)神經(jīng)了,每天早上7點(diǎn)多天蒙蒙亮,拄著(zhù)拐杖、背著(zhù)書(shū)包就走了。晚上走回家就7點(diǎn)了?;氐郊?,研究做不出來(lái)就一直嘟囔‘零點(diǎn)、零點(diǎn)’,連我都知道零點(diǎn)了。我就想了個(gè)辦法,每天晚上把菜準備好,讓他回來(lái)炒菜,把注意力分散一點(diǎn)?!?/p>

  朗道-西格爾零點(diǎn)究竟是一個(gè)什么問(wèn)題?

  張益唐曾說(shuō),他夢(mèng)寐以求的是“想去證明這樣一個(gè)零點(diǎn)不存在”,因為一旦發(fā)現零點(diǎn)存在,整個(gè)廣義黎曼猜想就錯了。

  無(wú)論廣義黎曼猜想還是黎曼猜想,都是為了解決素數的分布問(wèn)題。素數指的是一類(lèi)大于1的自然數,只能被1和它自身整除。素數研究是數論中的一個(gè)根本問(wèn)題,如果能破解它的分布之謎,很多現有的猜想都能得到答案。

  早在18世紀,人類(lèi)就已經(jīng)證明素數無(wú)限多,但對于素數的分布有很多困惑。19世紀,黎曼構建了黎曼ζ函數,并且認為素數分布只與黎曼ζ函數的一種類(lèi)型零點(diǎn)有關(guān)。原始的黎曼猜想是,所有這些零點(diǎn)都分布在實(shí)部等于二分之一的一條垂直線(xiàn)上。

上海復星藝術(shù)中心展館內的多媒體光影藝術(shù)裝置帶游客穿越宇宙星空。陳玉宇 攝
上海復星藝術(shù)中心展館內的多媒體光影藝術(shù)裝置帶游客穿越宇宙星空。陳玉宇 攝

  黎曼猜想提出后,德國數學(xué)家狄利克雷1837年又引入了狄利克雷L函數,相當于上述黎曼函數的推廣形式。數學(xué)家們推測,狄利克雷L函數上的零點(diǎn)也都位于實(shí)部等于二分之一的直線(xiàn)上,這就是廣義黎曼猜想。如果證明了廣義黎曼猜想,也就等于證明了黎曼猜想。

  雖然黎曼猜想和廣義黎曼猜想一直沒(méi)有被證明,但數學(xué)家們基本默認了其真實(shí)性,除了一個(gè)例外,就是朗道-西格爾零點(diǎn)。德國數學(xué)家西格爾及其導師朗道在研究狄利克雷L函數時(shí)發(fā)現一個(gè)反例,一個(gè)異常零點(diǎn)可能不分布在那條直線(xiàn)上。這在一定程度上推翻了廣義黎曼猜想。

  朗道和西格爾后來(lái)又通過(guò)一些方法證明了這樣的反例零點(diǎn)最多只有一個(gè),但數學(xué)家們一直致力于證明:這樣的反例并不存在。

  西安交通大學(xué)數學(xué)與統計學(xué)院教授郗平對記者說(shuō),朗道-西格爾零點(diǎn)是近百年前人們在研究狄利克雷L函數時(shí)所發(fā)現的“怪物”。它若存在,那么原始的黎曼猜想就無(wú)法直接推廣到狄利克雷L函數的情形。朗道和西格爾等人分別對這一特殊零點(diǎn)的位置給了“初步的控制”,但因方法所限,其中涉及的常數無(wú)法定出,這給很多數學(xué)中的應用帶來(lái)本質(zhì)障礙。

黎曼假設創(chuàng  )意圖片。Samantha T. 攝
黎曼假設創(chuàng )意圖片。Samantha T. 攝

  這也是為什么張益唐的證明如此重要。因為一百多年來(lái),零點(diǎn)問(wèn)題一直是解決很多數論問(wèn)題的瓶頸,很多專(zhuān)家都對其發(fā)起了“進(jìn)攻”,但最終失敗。

  張益唐的思路有何創(chuàng )新和突破之處?

  張益唐的博士生、現在加拿大女王大學(xué)讀博士后的阮大衛對記者解釋?zhuān)瑥堃嫣剖褂昧艘环N經(jīng)典的證明策略“矛盾證明法”。他首先假設朗道-西格爾零點(diǎn)“以弱形式存在”,結果發(fā)現,這會(huì )導致狄利克雷L函數中其他零點(diǎn)以非常規則的間距排列起來(lái),“就像游行中的士兵隊伍一樣”。

  阮大衛解釋說(shuō),但實(shí)際上,這些零點(diǎn)應是隨機分布的,連續零點(diǎn)之間的間距是不可預測的,“類(lèi)似于高速公路上的汽車(chē)——有時(shí)兩輛車(chē)相隔幾英里,有時(shí)是保險杠對保險杠”。這種零點(diǎn)間隔的極端規律性,反過(guò)來(lái)證明了朗道-西格爾零點(diǎn)不存在。

  簡(jiǎn)而言之,先是假設,最后發(fā)現結果矛盾,從而證明假設不成立。

數學(xué)函數創(chuàng  )意圖片。Kumer 攝
數學(xué)函數創(chuàng )意圖片。Kumer 攝

  長(cháng)期從事數論研究的山東大學(xué)副校長(cháng)劉建亞對記者說(shuō),如果單從論證上看,張益唐使用了一種經(jīng)典的辦法。但他把經(jīng)典的方法發(fā)揮到極致,其中的一些創(chuàng )新和突破“非同凡響”?!敖?jīng)典的方法已經(jīng)是千錘百煉,你要想在這個(gè)方面還有所突破,一定要比別人看得更深?!?/p>

  距離真正解決黎曼猜想還有很遠

  如果翻開(kāi)張益唐的這篇論文,會(huì )發(fā)現摘要很短,風(fēng)格是他一向的簡(jiǎn)潔清晰,其中只列出了一個(gè)公式,公式中函數的指數是-2022,“顯然是在致敬今年?!敝嬎銛祵W(xué)家、中國科學(xué)院院士、北師—港浸大聯(lián)合國際學(xué)院校長(cháng)湯濤對記者說(shuō)。

  湯濤還提到,在論文中,張益唐給出了兩個(gè)定理,其中一個(gè)定理中指數則是-2024。湯濤解釋?zhuān)?2024如果變成-1,就相當于證明了原始形式的朗道-西格爾零點(diǎn)猜想,因此張益唐還沒(méi)有完全解決零點(diǎn)問(wèn)題,而是證明了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的一個(gè)變形:“一種相對弱的形式”。

  但多位專(zhuān)家指出,對數論領(lǐng)域而言,這仍然是一個(gè)巨大的突破,和以前相比是“質(zhì)的飛躍”。湯濤表示,“都說(shuō)研究零點(diǎn)問(wèn)題是大海撈針,張益唐已經(jīng)在大海里撈到了一個(gè)臉盆。以前人們在大海里完全不知道方向,現在至少接下來(lái)知道要怎么做了,這是他的突破性所在”。

  郗平說(shuō),現在張益唐是在一個(gè)“稍小的范圍里”證明了零點(diǎn)不存在,雖然范圍有點(diǎn)小,但是比以前的范圍要大得多。從純數學(xué)的角度而言,在量級上是一個(gè)飛躍。這一工作若得到證實(shí),將在素數相關(guān)的核心問(wèn)題上得到應用,且其中產(chǎn)生的方法論將為解析數論帶來(lái)革命性改變。

  但他也指出,證明黎曼猜想和廣義黎曼猜想,就是數學(xué)家們不斷向實(shí)部是二分之一的那條直線(xiàn)靠近的過(guò)程。但按照張益唐目前的方法,距那條直線(xiàn)還很遙遠,也就是說(shuō),真正解決黎曼猜想和廣義黎曼猜想的希望還很渺茫。

質(zhì)數創(chuàng  )意圖片。BBuilder 攝
質(zhì)數創(chuàng )意圖片。BBuilder 攝

  青年時(shí)期一直想做的“大問(wèn)題”

  上一次,張益唐帶來(lái)如此重大的成果是在2013年,憑借一篇《素數間的有界距離》一夜成名,創(chuàng )下了數學(xué)頂刊《數學(xué)年刊》百年來(lái)最快的過(guò)審紀錄。但他自己說(shuō),與朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題相比,對孿生素數猜想的研究只能算是“走上一條岔道”。這一次,他回到主路,終于攻克了自己從青年時(shí)期一直想做的“大問(wèn)題”。

  與突破孿生素數猜想時(shí)的靈光一現相比,對朗道-西格爾零點(diǎn)的研究更像是一次長(cháng)期的漫行。孤獨一直伴隨著(zhù)他,有時(shí)也會(huì )在心靈深處感到疲憊,看不到希望,但他仍在一小步一小步向前走。直到20多年后,他緩慢而堅定地走到了路的終點(diǎn)。

  湯濤曾問(wèn)他,這20多年來(lái)是如何堅持下來(lái)?張益唐說(shuō),就是每天不中斷思考,去海邊散步時(shí)、聽(tīng)音樂(lè )會(huì )時(shí)都在思考。但有時(shí)遇到瓶頸了,也會(huì )暫時(shí)停下來(lái),比如去做孿生素數猜想,中斷一會(huì ),但很快還會(huì )繼續回到這個(gè)問(wèn)題,因為它一直在腦海中揮之不去。

  張益唐說(shuō),自己做學(xué)問(wèn)的風(fēng)格,即如果一件事喜歡干,就告訴自己,要把這個(gè)證明弄懂,這是很重要的。做數學(xué)要往深里鉆,但有的時(shí)候,不知道怎么往前走的時(shí)候,最好能停一下,回到出發(fā)點(diǎn),問(wèn)一下自己想做什么。

福建省福州市,市民在元宇宙體驗館參觀(guān)。張斌 攝
福建省福州市,市民在元宇宙體驗館參觀(guān)。張斌 攝

  2013年7月,張益唐發(fā)表孿生素數猜想結果不久,數學(xué)家季理真、翁秉仁曾對他做過(guò)一期專(zhuān)訪(fǎng)。采訪(fǎng)者說(shuō),數學(xué)家是要選擇解決幾百年沒(méi)有攻克的“大問(wèn)題”,還是“即使結果小也有意義”的問(wèn)題。有人不鼓勵大家研究黎曼猜想,“因為沒(méi)有就什么都沒(méi)了”。張益唐連忙說(shuō),還是希望有人即使在做別的東西時(shí),保持某些你有興趣的困難問(wèn)題,例如黎曼假說(shuō),“像這種東西你可以盡想象力去試,不要以為前人所做的已經(jīng)窮盡了”。

  北大報告會(huì )的最后,張益唐意味深長(cháng)地說(shuō):“在數論里沒(méi)有什么東西是一定不可能的。我用了這么多年去大海撈針,針沒(méi)撈到,海底地貌反而弄清楚了,最后發(fā)現,其實(shí)不需要這根針也能達到終點(diǎn)?!?/p>

  11月10日,張益唐在知乎上向網(wǎng)友分享自己的人生經(jīng)歷。他說(shuō),9年前,剛證出孿生素數猜想后第一次訪(fǎng)問(wèn)普林斯頓,有人問(wèn)他,哪一句詩(shī)能概括現在的心情。他引用了杜甫五首詠懷古跡里第一首的最后兩句:“庾信平生最蕭瑟,暮年詩(shī)賦動(dòng)江關(guān)?!薄敖裉?,還是這句?!睆堃嫣普f(shuō)。(完)

【編輯:田博群】
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